CALCULO DE LA
PROBABILIDAD EN LA DISTRIBUCIÓN UNIFORME
Un histograma es una manera conveniente de visualizar la distribución
de probabilidad asociada a una variable aleatoria X y que, si usamos subdivisiones de 1 unidad, entonces la
probabilidad P(c
Xd) se calcula como la área bajo el histograma entre X=c y X=d. Por otro lado, hemos también visto
que puede ser difícil calcular probabilidades para rangos de X que no son un número entero de
subdivisiones. Para introducir la solución de este problema, vamos a ver el
siguiente ejemplo, basado en Ejemplo 2 en Sección 1:
Xd) se calcula como la área bajo el histograma entre X=c y X=d. Por otro lado, hemos también visto
que puede ser difícil calcular probabilidades para rangos de X que no son un número entero de
subdivisiones. Para introducir la solución de este problema, vamos a ver el
siguiente ejemplo, basado en Ejemplo 2 en Sección 1:
o Ejemplo 1 Edad de un coche alquilado
Una encuesta halla la siguiente distribución de
las probabilidades para le edad de un coche alquilado:
|
Edad
(Años)
|
0-1
|
1-2
|
2-3
|
3-4
|
4-5
|
5-6
|
6-7
|
|
Probabilidad
|
.10
|
.26
|
.28
|
.20
|
.11
|
.04
|
.01
|
El histograma de la distribución de probabilidad se muestra a la
izquierda de la figura más abajo, sugiriendo una curva como esta mostrada a la
derecha. (Hay muchas curvas parecidas que se sugiere el histograma. El problema
de hallar la curva más apropiada para una situación específica es un tema que
consideremos más abajo.)
|
x
|
x
|
La curva a la derecha es la
gráfica de cualquier función f,
que se llama una función de
densidad de probabilidad. Tomamos para el dominio de f el intervalo [0
+
), pues este intervalo es el rango
de los valores posibles que pueden tomar X (en
principio). Además, usamos x para
referir a valores particulares de X,
así que no es coincidencia que aquellos valores son mostrados en el eje-x. Por lo general, una función de
densidad de probabilidad tendrá cualquier (posiblemente no acotado) intervalo
como su dominio.
+), pues este intervalo es el rango
de los valores posibles que pueden tomar X (en
principio). Además, usamos x para
referir a valores particulares de X,
así que no es coincidencia que aquellos valores son mostrados en el eje-x. Por lo general, una función de
densidad de probabilidad tendrá cualquier (posiblemente no acotado) intervalo
como su dominio.
Supóngase, como en la sección anterior, que deseemos calcular la
probabilidad de que un coche alquilado tenga entre 0 y 4 años de edad. Por la
tabla,
P(0X4)=
10+26+28+20=84
X4)=10+26+28+20=84
Si miramos la gráfica a la izquierda en la siguiente figura,
observamos que podemos obtener el mismo resultado por sumar las áreas de las
barras correspondientes, pues cada barra tiene una anchura de 1 unidad.
|
x
P(0
x4)= Área sombreada |
x
P(0
x4)= 04f(x) dx |
Idealmente (vea la gráfica en
la figura más arriba), nuestra función de densidad de probabilidad debe tener
la propiedad que la área de abajo su curva para 0X4 es igual a la misma
probabilidad; es decir,
X4 es igual a la misma
probabilidad; es decir,
P(0X4)=
04f(x) dx=84
X4)=04f(x) dx=84
¿Ahora qué sucede si deseamos calcular P(2X35)? Lo estimamos en Sección 1 por
usar la mitad del rectángulo entre 3 y 4 (vea la próxima figura).
X35)? Lo estimamos en Sección 1 por
usar la mitad del rectángulo entre 3 y 4 (vea la próxima figura).|
x
P(2
x35)= Área sombreada |
x
P(2
x35)=23 5f(x) dx |
En cambio, podemos usar la integral definida
P(2x35)=235f(x) dx
x35)=235f(x) dx
Para f(x), desearíamos que f(x) se comporte como descrito más arriba. Hay también algo
más que desearíamos: Pues un coche tiene una probabilidad igual a 1 de tener
una edad entre 0 y , requerimos
, requerimos
P(0X
+)=0+
f(x) dx=1
X+)=0+f(x) dx=1 
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