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miércoles, 6 de junio de 2012

CALCULO DE LA PROBABILIDAD EN LA DISTRIBUCIÓN UNIFORME


CALCULO DE LA PROBABILIDAD EN LA DISTRIBUCIÓN UNIFORME
Un histograma es una manera conveniente de visualizar la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria X y que, si usamos subdivisiones de 1 unidad, entonces la probabilidad P(chttp://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngXhttp://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngd) se calcula como la área bajo el histograma entre X=c y X=d. Por otro lado, hemos también visto que puede ser difícil calcular probabilidades para rangos de X que no son un número entero de subdivisiones. Para introducir la solución de este problema, vamos a ver el siguiente ejemplo, basado en Ejemplo 2 en Sección 1:
o   Ejemplo 1 Edad de un coche alquilado
Una encuesta halla la siguiente distribución de las probabilidades para le edad de un coche alquilado:
Edad (Años)
0-1
1-2
2-3
3-4
4-5
5-6
6-7
Probabilidad
.10
.26
.28
.20
.11
.04
.01
El histograma de la distribución de probabilidad se muestra a la izquierda de la figura más abajo, sugiriendo una curva como esta mostrada a la derecha. (Hay muchas curvas parecidas que se sugiere el histograma. El problema de hallar la curva más apropiada para una situación específica es un tema que consideremos más abajo.)
x
     
x
     
La curva a la derecha es la gráfica de cualquier función f, que se llama una función de densidad de probabilidad. Tomamos para el dominio de f el intervalo [0http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.png+http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char31.png), pues este intervalo es el rango de los valores posibles que pueden tomar X (en principio). Además, usamos x para referir a valores particulares de X, así que no es coincidencia que aquellos valores son mostrados en el eje-x. Por lo general, una función de densidad de probabilidad tendrá cualquier (posiblemente no acotado) intervalo como su dominio.
Supóngase, como en la sección anterior, que deseemos calcular la probabilidad de que un coche alquilado tenga entre 0 y 4 años de edad. Por la tabla,
P(0http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngXhttp://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png4)=http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png10+http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png26+http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png28+http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png20=http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png84http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png
Si miramos la gráfica a la izquierda en la siguiente figura, observamos que podemos obtener el mismo resultado por sumar las áreas de las barras correspondientes, pues cada barra tiene una anchura de 1 unidad.
x
     
P(0http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngxhttp://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png4)= Área sombreada
x
     
P(0http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngxhttp://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png4)=http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char52.png04f(x) dx 
Idealmente (vea la gráfica en la figura más arriba), nuestra función de densidad de probabilidad debe tener la propiedad que la área de abajo su curva para 0http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngXhttp://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png4 es igual a la misma probabilidad; es decir,
P(0http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngXhttp://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png4)=http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char5A.png04f(x) dx=http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png84 
¿Ahora qué sucede si deseamos calcular P(2http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngXhttp://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png3http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png5)? Lo estimamos en Sección 1 por usar la mitad del rectángulo entre 3 y 4 (vea la próxima figura).
x
     
P(2http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngxhttp://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png3http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png5)= Área sombreada
x
     
P(2http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngxhttp://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png3http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png5)=http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char52.png23http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/85/char3A.png5f(x) dx 
En cambio, podemos usar la integral definida
P(2http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngxhttp://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png3http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png5)=http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char5A.png23http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/85/char3A.png5f(x) dx 
 Para f(x), desearíamos que f(x) se comporte como descrito más arriba. Hay también algo más que desearíamos: Pues un coche tiene una probabilidad igual a 1 de tener una edad entre 0 y http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char31.png, requerimos
P(0http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngXhttp://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3C.png+http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char31.png)=http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char5A.png0+http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/85/char31.pngf(x) dx=1 

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