CALCULO DE LA DISTRIBUCION T STUDENT

CALCULO DE LA DISTRIBUCION T STUDENT

Distribución t de Student

¿Qué es?

En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muéstrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

¶  FORMULA

Donde: t = valor estadístico de la prueba t de Student. 1 = valor promedio del grupo 1. 2 = valor promedio del grupo 2. p = desviación estándar ponderada de ambos grupos. N1 = tamaño de la muestra del grupo 1. N2 = tamaño de la muestra del grupo 1.

Donde: p = desviación estándar ponderada. SC = suma de cuadrados de cada grupo. N = tamaño de la muestra 1 y 2.

¶  CARACTERIZACIÓN

La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente

Donde

• Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1
• V tiene una distribución ji-cuadrado con grados de libertad
• Z y V son independientes

Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad.

¶  TABLA DE VALORES

En esta tabla hay dos entradas, en la fila superior están los valores de n para los que se ha calculado la probabilidad, en la columna de la izquierda los de x, para x igual o mayor que cero, en incrementos de 0,05, para cada valor de n y de la x correspondiente tenemos la probabilidad acumulada, expresada con tres cifras decimales.

Tabla distribución t de Student
x \ n	1	2	4	5	6	7	8	9	10	15	20	25	30	40	50

0,00	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500
0,05	0,516	0,518	0,519	0,519	0,519	0,519	0,519	0,519	0,519	0,520	0,520	0,520	0,520	0,520	0,520
0,10	0,532	0,535	0,537	0,538	0,538	0,538	0,539	0,539	0,539	0,539	0,539	0,539	0,539	0,540	0,540
0,15	0,547	0,553	0,556	0,557	0,557	0,558	0,558	0,558	0,558	0,559	0,559	0,559	0,559	0,559	0,559
0,20	0,563	0,570	0,574	0,575	0,576	0,576	0,577	0,577	0,577	0,578	0,578	0,578	0,579	0,579	0,579
0,25	0,578	0,587	0,593	0,594	0,595	0,595	0,596	0,596	0,596	0,597	0,597	0,598	0,598	0,598	0,598
0,30	0,593	0,604	0,610	0,612	0,613	0,614	0,614	0,615	0,615	0,616	0,616	0,617	0,617	0,617	0,617

¶  INTERVALO DE CONFIANZA

En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.

La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota 1-. La probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza. Generalmente se construyen intervalos con confianza 1-=95% (o significancia =5%). Menos frecuentes son los intervalos con =10% o =1%.

¶  INTERVALO DE SIGNIFICANCIA

La probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza. Generalmente se construyen intervalos con confianza 1-=95% (o significancia =5%). Menos frecuentes son los intervalos con =10% o =1%.

Para construir un intervalo de confianza, se puede comprobar que la distribución Normal Estándar cumple 1:

P (-1.96 < z < 1.96) = 0.95

(Lo anterior se puede comprobar con una tabla de probabilidades o un programa computacional que calcule probabilidades normales).

Luego, si una variable X tiene distribución N(,), entonces el 95% de las veces se cumple:

Despejando en la ecuación se tiene:

El resultado es un intervalo que incluye al el 95% de las veces. Es decir, es un intervalo de confianza al 95% para la media cuando la variable X es normal y es conocido.

Ejemplo:

Encuentre la probabilidad de –t_0.025 < t < t_0.05.

Solución: