ANALISIS DE MODELOS PROBABILISTICOS
ESPECIALES
Modelo probabilístico, es la forma que pueden tomar un conjunto
de datos obtenidos de muestreos de datos con comportamiento que se supone
aleatorio.
Los modelos probabilísticos más típicos son:
-Distribución Normal:
Usada ampliamente en muestras mayores a 30 datos.
-Distribución Chi Cuadrado:
Usada en muestras pequeñas.
-Distribución Exponencial:
Usada en duración o donde
interviene el paso del tiempo.
-Distribución F-Snedecor:
Usada para controlar la
varianza de 2 distribuciones.
·
MODELO DE BERNOULLI
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o distribución
dicotómica), nombrada así por el matemático
y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de
probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (
) y valor 0 para la
probabilidad de fracaso (
).
Si
es una variable
aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o
fracaso), se dice que la variable aleatoria
se distribuye como una
Bernoulli de parámetro
.
La fórmula será:
Su función de probabilidad viene definida por:
·
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La distribución
de probabilidad binomial es uno de los modelos matemáticos
(expresión matemática para representar una variable) que se utiliza cuando la
variable aleatoria discreta es el número de éxitos en una muestra compuesta por
n observaciones.
Fórmulas
de la distribución binomial
Ejemplo
k = 6, al
lanzar una moneda 10 veces y obtener 6 caras.
Distribución binomial: La distribución binomial se suele representar por B(n, p).
·
n es el
número de pruebas de que consta el experimento.
·
p es la
probabilidad de éxito.
La probabilidad
de
es 1− p, y la
representamos por q.
·
Distribución de Poisson
Se trata de un modelo discreto, pero en el que el conjunto
de valores con probabilidad no nula no es finito, sino numerable. Se dice que
una variable aleatoria X sigue la distribución de Poisson si su función
de densidad viene dada por:
Esta distribución
suele utilizarse para contajes del tipo número
de individuos por unidad de tiempo, de espacio, etc.
Características:
En este tipo de experimentos
los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza.
-núm. de defectos de una
tela por m2
-núm. de aviones que
aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc.
-núm. de bacterias por cm2
de cultivo
-núm. de llamadas
telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc.
-núm. de llegadas de
embarcaciones a un puerto por día, mes, etc.
Para determinar la
probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la
fórmula a utilizar sería:
Ejemplo.
Si un banco recibe en
promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que
reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en
cualquiera de dos días consecutivos?
Solución:
a) x
= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en
un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, etc.
l =
6 cheques sin fondo por día
e = 2.718
·
Distribución hipergeometrica
La distribución
hipergeometrica es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se
extraigan muestras o se realizan experiencias repetidas sin devolución del
elemento extraído o sin retornar a la situación experimental inicial.
Ejemplo:
Tenemos una baraja de cartas españolas (N=40 naipes), de
las cuales nos vamos a interesar en el palo
de oros (D=10 naipes de
un mismo tipo). Supongamos que de esa baraja extraemos n=8 cartas de una vez (sin
reemplazamiento) y se nos plantea el problema de calcular la
probabilidad de que hayan k=2
oros (exactamente) en esa
extracción.
En lugar de
usar como dato D es posible que tengamos la proporción existente, p,
entre el número total de oros y el número de cartas de la baraja
·
Distribución geométrica
Es un modelo adecuado
para aquellos procesos en los que se repiten pruebas hasta la consecución del
éxito a resultado deseado y tiene interesantes aplicaciones en los muestreos
realizados de esta manera. También implica la existencia de una dicotomía de
posibles resultados y la independencia de las pruebas entre sí. A demás esta
distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un
éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del
experimento, para obtener la fórmula de esta distribución
Ejemplo
Un
matrimonio quiere tener una hija, y por ello deciden tener hijos hasta el
nacimiento de una hija. Calcular el número esperado de hijos (entre varones y
hembras) que tendrá el matrimonio. Calcular la probabilidad de que la pareja
acabe teniendo tres hijos o más.
Solución:
Vamos a suponer que la probabilidad
de tener un hijo varón es la misma que la de tener una hija hembra. Sea X
la v.a.
Es claro que
Sabemos que
el número esperado de hijos varones es por tanto el número
esperado en total entre hijos varones y la niña es 2.
La probabilidad de que la pareja acabe teniendo tres o más hijos, es la de
que tenga 2 o más hijos varones (la niña está del tercer lugar en adelante), es
decir,
